درسنامه آموزشی فصل سوم هندسه (2) کلاس یازدهم علوم ریاضی

1- در مثلث $ABC$، $AB = 10$، $AC = 6$ و $\hat A = {60^ \circ }$.

الف) طول $BC$ را به‌دست آورید.

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB.\cos A$

$B{C^2} = 36 + 100 - 2 \times 6 \times 10 \times \frac{1}{2} = 76 \Rightarrow BC = 2\sqrt {19} $

ب) مساحت مثلث را تعیین کنید.

$S = \frac{1}{2}AC.AB.\sin A \Rightarrow S = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 15\sqrt 3 $

پ) مقدار $\sin B$ را پیدا کنید.

$\frac{{\sin B}}{b} = \frac{{\sin A}}{a} \Rightarrow \frac{{\sin B}}{6} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{2\sqrt {19} }} \Rightarrow \sin B = \frac{3}{2}\sqrt {\frac{3}{{19}}}  \Rightarrow \sin B = \frac{{3\sqrt {57} }}{{38}}$

2- دو زمین کوچک به شکل مثلث با یک دیوار به طول 13 متر مطابق شکل از هم جدا شده‌اند. ابعاد زمین‌ها هم در شکل مشخص شده‌اند. اگر با برداشتن دیوار، دو زمین به یک زمین تبدیل شود، مساحت آن چقدر می‌شود؟

${S_{ABD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}}$

${P_{ABD}} = \frac{{4 + 13 + 15}}{2} = 16m$

${P_{BCD}} = \frac{{11 + 13 + 20}}{2} = 22m$

${S_{ABD}} = \sqrt {16 \times 12 \times 3 \times 1}  = 24{m^2}$

${S_{BCD}} = \sqrt {22 \times 11 \times 9 \times 2}  = 66{m^2}$

${S_{ABCD}} = 24 + 66 = 90{m^2}$

نشان دهید دیوار مشترک با اضلاع 4 متری و 11 متری زاویه‌های برابر می‌سازد. $(\alpha  = \beta )$

$\left. \begin{gathered}
  {S_{ABD}} = \frac{1}{2}AB.BD.\sin \alpha  \Rightarrow 24 = \frac{1}{2} \times 4 \times 13\sin \alpha  \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{12}}{{13}} \hfill \\
  {S_{BCD}} = \frac{1}{2}BC.BD.\sin \beta  \Rightarrow 66 = \frac{1}{2} \times 11 \times 13\sin \beta  \Rightarrow \sin \beta  = \frac{{12}}{{13}} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow \sin \alpha  = \sin \beta $

3- دستور محاسبهٔ مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع به ضلع $a$ را به کمک دستور هرون به‌دست آورید.

$p = \frac{{3a}}{2}$

$S = \sqrt {\frac{{3a}}{2}(\frac{{3a}}{2} - a)(\frac{{3a}}{2} - a)(\frac{{3a}}{2} - a)}  = \sqrt {\frac{{3a}}{2}{{(\frac{{3a}}{2} - a)}^3}}  = \sqrt {\frac{{3a}}{2} \times \frac{{{a^3}}}{8}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}$

4- در شکل مقابل، اولاً طول $BC$ را به‌دست آورید. ثانیاً مساحت چهرضلعی $DECB$ را بیایید.

$A\mathop D\limits^\Delta  E \Rightarrow \hat A = {60^ \circ }$ متساوی الاضلاع

$B{C^2} = {8^2} + {6^2} - 2 \times 8 \times 6 \times \cos 60 = 64 + 36 - 48 = 52$

$BC = \sqrt {52}  = 2\sqrt {13} $

${S_{DECB}} = {S_{A\mathop B\limits^\Delta  C}} - {S_{A\mathop D\limits^\Delta  E}} = (\frac{1}{2} \times 8 \times 6 \times \sin {60^ \circ }) - \frac{{\sqrt 3 }}{4} \times {1^2} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}$

$ = 48\frac{{\sqrt 3 }}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{47}}{4}\sqrt 3 $

5- در شکل زیر $AD$ نیمساز زاویهٔ $\hat A$ است.
با پر کردن جاهای خالی، دستوری دیگر برای محاسبهٔ طول نیمساز زاویهٔ $A$ به‌دست آورید.

${S_{ABC}} = {S_{ABD}} + {S_{ACD}} \Rightarrow $

$\sin \frac{A}{2}$ $AC \times AD \times $$\sin \frac{A}{2} + \frac{1}{2}$$AB \times AD \times $$\frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}$

$(AB + AC)$$ \Rightarrow AB.AC.\sin A = AD.\sin \frac{A}{2}$

$\frac{{2AB.AC.\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}}{{(AB + AC)\sin \frac{A}{2}}}$$=$$\frac{{AB.AC.\sin A}}{{(AB + AC)\sin \frac{A}{2}}}$$ \Rightarrow AD = $

$\frac{{2A.AC.\cos \frac{A}{2}}}{{AB + AC}}$$ \Rightarrow AD = $

${d_a} = \frac{{2bc.\cos \frac{A}{2}}}{{b + c}}$ (نیمساز رأس $A$) 

6- در مثلث $ABC$ به اضلاع 5 و 6 و 7 سانتی‌متر، نقطه‌ای که از اضلاع به طول‌های 5 و 6، به فاصلهٔ 2 و 3 سانتی‌متر است از ضلع بزرگ‌تر چه فاصله‌ای دارد؟
راهنمایی: از مساحت مثلث استفاده کنید.

$P = \frac{{5 + 6 + 7}}{2} = 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,S = \sqrt {9 \times 4 \times 3 \times 2}  = 6\sqrt 6 $

${S_{A\mathop B\limits^\Delta  C}} = {S_{A\mathop O\limits^\Delta  B}} + {S_{B\mathop O\limits^\Delta  C}} + {S_{C\mathop O\limits^\Delta  A}} = \frac{1}{2} \times 2 \times 5 + \frac{1}{2} \times 3 \times 6 + \frac{1}{2} \times 7 \times x = 14 + \frac{7}{2}x$

$ \Rightarrow 6\sqrt 6  = 14 + \frac{7}{2}x \Rightarrow \frac{7}{2}x = 6\sqrt 6  - 14 \Rightarrow 7x = 12\sqrt 6  - 28 \Rightarrow x = \frac{{12\sqrt 6  - 28}}{7}$

7- در شکل، اولاً اندازهٔ زاویهٔ $A$ را به‌دست آورید. ثانیاً مساحت چهارضلعی $ABCD$ را بیابید.
راهنمایی: $B$ را به $D$ وصل کنید.

$BD = \sqrt {147}  = 7\sqrt 3 $، $B{D^2} = {7^2} + {7^2} - 2 \times 7 \times 7 \times \cos {120^ \circ } = 49 + 49 + 98 \times \frac{1}{2} = 98 + 49 = 147$

$B{D^2} = {11^2} + {13^2} - 2 \times 11 \times 13 \times \cos A \Rightarrow 121 + 169 - 286\cos A = 147 \Rightarrow 143 = 286\cos A$

$ \Rightarrow \cos A = \frac{{143}}{{286}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat A = {60^ \circ }$

${S_{ABCD}} = {S_{ABD}} - {S_{CBD}} = \frac{1}{2} \times 11 \times 13 \times \underbrace {\sin 60}_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} - \frac{1}{2} \times 7 \times 7 \times \underbrace {\sin 120}_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}$

$ = \frac{{143\sqrt 3 }}{4} - \frac{{49\sqrt 3 }}{4} = \frac{{94\sqrt 3 }}{4}$

8- ثابت کنید مساحت هر متوازی‌الاضلاع برابر است با حاصل ضرب دو ضلع مجاور در سینوس زاویهٔ بین آن دو ضلع.

$\left. \begin{gathered}
  {S_{ABCD}} = DC \times AH \hfill \\
  \Delta ADH;\sin D = \frac{{AH}}{{AD}} \Rightarrow AH = AD.\sin D \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow {S_{ABCD}} = DC.AD.\sin D$

9- به کمک قضیهٔ کسینوس‌ها ثابت کنید در مثلث $ABC$:

الف) $\hat A \gt {90^ \circ }$ اگر  و تنها اگر ${a^2} \gt {b^2} + {c^2}$

$\left. \begin{gathered}
  \hat A \gt {90^ \circ } \Rightarrow \cos A \lt 0 \hfill \\
   - 2bc < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow  - 2bc\cos A \gt 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

از طرفی طبق قضیه کسینوس‌ها داریم:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \Rightarrow {a^2} > {b^2} + {c^2}$

بالعکس؛ اگر ${a^2} \lt {b^2} + {c^2}$ باشد آنگاه $\hat A \gt {90^ \circ }$

طبق فرض ${a^2} \gt {b^2} + {c^2}$ است. از طرفی طبق قضیه کسینوس‌ها داریم ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$

پس:

${a^2} \gt {b^2} + {c^2} \Rightarrow {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \gt {b^2} + {c^2} \Rightarrow  - 2bc\cos A \gt 0$

$ \Rightarrow \cos A \lt 0 \Rightarrow \hat A \gt {90^ \circ }$

ب) $\hat A \lt {90^ \circ }$ اگر و تنها اگر ${a^2} \lt {b^2} + {c^2}$

$\left. \begin{gathered}
  \hat A < {90^ \circ } \Rightarrow \cos A > 0 \hfill \\
   - bc < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow  - 2bc\cos A < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

از طرفی طبق قضیه کسینوس‌ها داریم:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\xrightarrow{{(1)}}{a^2} \lt {b^2} + {c^2}$

بالعکس) اگر ${a^2} \lt {b^2} + {c^2}$ آنگاه $\hat A \lt {90^ \circ }$

${a^2} \lt {b^2} + {c^2} \to {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \lt {b^2} + {c^2} \Rightarrow  - 2bc\cos A \lt 0$

$ \Rightarrow \cos A \gt 0 \Rightarrow \hat A \lt {90^ \circ }$

پ) $\hat A = {90^ \circ }$ اگر و تنها اگر ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

$\hat A = {90^ \circ } \Rightarrow \cos A = \cos {90^ \circ } = 0 \Rightarrow  - 2bc\cos A = 0\,\,\,\,\,(1)$

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\xrightarrow{{(1)}}{a^2} = {b^2} + {c^2}$

بالعکس؛ اگر ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ آنگاه $\hat A = {90^ \circ }$

${a^2} = {b^2} + {c^2} \to {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} \Rightarrow 2bc\cos A = 0 \Rightarrow \cos A = 0 \Rightarrow \hat A = {90^ \circ }$

10- به کمک نتیجهٔ تمرین 9، حاده (تند)، قائمه یا منفرجه (باز) بودن زاویهٔ $A$ را در هر یک از مثلث‌های زیر تعیین کنید:

الف) $BC = 9\,\,\,,\,\,\,AC = 6\,\,\,\,,\,\,\,\,AB = 10$

$\left. \begin{gathered}
  {a^2} = {9^2} = 81 \hfill \\
  {b^2} + {c^2} = {6^2} + {10^2} = 36 + 100 = 136 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow {a^2} \lt {b^2} + {c^2} \Rightarrow \hat A \lt {90^ \circ }$

ب) $BC = 9\,\,\,,\,\,\,AC = 4\,\,\,\,,\,\,\,\,AB = 8$

$\left. \begin{gathered}
  {a^2} = {9^2} = 81 \hfill \\
  {b^2} + {c^2} = {4^2} + {8^2} = 16 + 64 = 80 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow {a^2} \gt {b^2} + {c^2} \Rightarrow \hat A \gt {90^ \circ }$

پ) $BC = 17\,\,\,,\,\,\,AC = 15\,\,\,\,,\,\,\,\,AB = 8$

$\left. \begin{gathered}
  {a^2} = {17^2} = 289 \hfill \\
  {b^2} + {c^2} = {15^2} + {8^2} = 225 + 64 = 289 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2} \Rightarrow \hat A = {90^ \circ }$